16.1 Rotasjonsbevegelse

Vi løfter et sykkelhjul opp fra bakken og setter det i rotasjon mot urviseren. Rotasjonsaksen går gjennom navet og står vinkelrett på hjulet. Ethvert tenkt massepunkt på hjulet (eller på en eike) beveger seg da i en sirkelbane med sentrum i aksen.

På figurene a og b nedenfor har vi tegnet hjulet ved to forskjellige tidspunkt, $t_1$ og $t_2$. Vi følger spesielt med to massepunkt, ett på ventilhetta, A, og ett på en refleksbrikke på en eike, B. Punktene A og B beveger seg med forskjellig fart i hver sin sirkelbane. Sirkelbanene har ulike radier, $r_1$ og $r_2$, og punktene beveger seg ulike strekninger. Men posisjons­vektorene og fra aksen til henholdsvis A og B dreier like store vinkler $\theta$ (gresk bokstav theta) i dette tidsintervallet. Derfor er det hensiktsmessig å bruke dreievinkelen $\theta$ i stedet for tilbakelagt vei når vi skal beskrive rotasjonsbevegelser. 

Absolutt vinkelmål

I dette kapittelet skal vi bruke et annet vinkelmål enn grader, °. Før vi går videre med å beskrive rotasjonsbevegelse, skal vi definere absolutt vinkelmål.

Vi har en vinkel v og tegner to sirkelbuer med forskjellige radier,  $r_1$ og $r_2$, se figuren ovenfor. De to sirkelbuene som avgrenses av vinkelbeina, har lengdene  $b_1$ og $b_2$. De to sirkelsektorene er likeformede. Da er forholdene mellom buelengden og radien like store:

$\frac{b_2}{r_2}=\frac{b_1}{r_1}$

Med en større vinkel blir buelengden større for en gitt radius. Forholdet $b/r$ blir da større. Forholdet mellom buelengde og radius avhenger altså bare av hvor stor vinkelen $v$ er. Derfor kan vi bruke forholdet $b/r$ som et mål for vinkelen. Det er dette forholdet vi kaller absolutt vinkelmål.

Absolutt vinkelmål er forholdet mellom to lengder. Størrelsen $v$ er altså ubenevnt; den har enheten 1. Men enheten kaller vi radian, rad, for å markere at det dreier seg om et vinkelmål.

I en vinkel med gradtallet 180° er buelengden lik halvdelen av omkretsen av sirkelen. Da er vinkelen målt i radianer

$v=\frac{b}{r}=\frac{\frac{1}{2}·2\text{π}r}{r}=\frac{1}{2}·2\text{π}\text{rad}=\text{π}\text{rad}=\mathrm{3,14}\text{rad}$

Vi ser her at 180° = π rad. Det kan vi bruke til å regne om mellom grader og absolutt vinkelmål. Et helt omløp, 360°, svarer altså til den absolutte vinkelen 2π rad. Merk at vi godt kan ha vinkler som er større enn 360° eller 2π rad. Det svarer til mer enn et helt omløp.

Eksempel 16.1

a) Hvor mange radianer er vinkelen 1,0°?

b) Hvor mange grader er vinkelen 1,0 rad? Og 2,4 rad?

Løsning:

a)  ${\mathrm{1,0}}^{°}={\mathrm{1,0}}^{°}\cdot \frac{\text{π rad}}{{180}^{°}}=\underset{\_}{\mathrm{0,017}\text{rad}}$

b)  $\mathrm{1,0}\text{rad}=\mathrm{1,0}\text{rad}\cdot \frac{{180}^{°}}{\text{π rad}}={\mathrm{57,29}}^{°}=\underset{\_}{{57}^{°}}$

 $\mathrm{2,4}\text{rad}=\mathrm{2,4}\text{rad}\cdot {\mathrm{57,29}}^{°}=\underset{\_}{{137}^{°}}$

Dreievinkel og banelengde

Siden posisjonsvektorene til alle punktene i et stivt legeme dreier like store vinkler i like lange tidsintervaller, kan vi bruke en vilkårlig posisjonsvektor som referanseretning. På sykkelhjulet kan vi f.eks. bruke posisjonsvektoren $\overrightarrow{r}$ til ventilhetta A som referanseretning, se figuren nedenfor. Dreievinkelen til denne posisjonsvektoren kaller vi legemets dreievinkel $\theta$.

I tidsintervallet $t$ beveger punktet A seg lengden $s$ langs sirkel­banen. Vi kaller $s$ banelengde. Banelengden er lik sirkelbuen. Definisjonen av absolutt vinkelmål gir da sammenhengen

$\theta =\frac{s}{r}$

$s=\theta r$

Eksempel 16.2

En sokk som ligger i en tørketrommel med radien 14 cm, roterer om symmetriaksen.

Hvor langt har sokken beveget seg når trommelen har gjort to omdreininger?

Løsning:

Dreievinkelen er $2\text{π}\text{rad}$ per omdreining, altså til sammen $4\text{π}\text{rad}$ . Vi bruker sammen­hengen $s=\theta r$ og får

$s=\theta \text{}\text{}\text{}\text{}r=4\text{π}\text{rad}·\mathrm{0,14}\text{m}=\underset{\_}{\mathrm{1,8}\text{m}}$

Vi ser at enheten for rotasjonsenergi blir kgm²/s² = (kgm/s²)m = Nm, altså J slik vi måtte vente.

Vinkelfart og vinkelakselerasjon

Vi skal nå definere størrelsene vinkelfart og vinkelakselerasjon på samme måte som vi definerte fart og akselerasjon på sidene 149 og 150. Vi begynner med gjennomsnittlig vinkelfart $\stackrel{-}{\omega }$ (gresk bokstav omega) og gjennomsnittlig
vinkelakselerasjon $\stackrel{-}{\alpha }$:

$\overline{\omega }=\frac{\text{Δ}\theta }{\text{Δ}t}$   der $\text{Δ}\theta$ er dreievinkelen i tidsintervallet $\text{Δ}t$

$\overline{\alpha }=\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}$ der $\text{Δ}\omega$ er dreievinkelen i tidsintervallet $\text{Δ}t$

Vinkelfarten $\omega$ og vinkelakselerasjonen $\alpha$ ved tidspunktet $t$ definerer vi da slik:

Enheten for vinkelfart er radianer per sekund, rad/s. For vinkelakselerasjon er enheten radianer per sekund i andre potens, rad/s². Vi merker oss at enhetene er de samme som for fart, m/s, og akselrasjon, m/s², bare at meter, m, er byttet ut med radianer, rad.

Konstant vinkelfart

Hvis vinkelfarten er den samme ved alle tidspunkt, sier vi at vinkelfarten er konstant. For tidsintervallet fra $t_1=0$ til $t_2=\mathrm{t}$ er $\text{Δ}\theta =\theta$, og for rotasjon med konstant vinkelfart får vi da denne bevegelseslikningen:

Vinkelfart og banefart

I tidsintervallet $\text{Δ}t$ er den gjennomsnittlige banefarten $\stackrel{-}{v}$ gitt ved

$\overline{v}=\frac{\text{Δ}s}{\text{Δ}t}$

der $\text{Δ}s$ er banelengden i tidsintervallet $\text{Δ}t$. Siden avstanden $r$ er konstant, er $\text{Δ}s=\text{Δ}\left(\theta r\right)=\left(\text{Δ}\theta \right)r$, og vi får

$\overline{v}=\frac{\text{Δ}s}{\text{Δ}t}=\frac{\text{Δ(}\theta r\text{)}}{\text{Δ}t}=\frac{\text{(Δ}\theta \text{)}r}{\text{Δ}t}=\frac{\text{Δ}\theta }{\text{Δ}t}r$

Når $\text{Δ}t\to 0$ , vil $\text{Δ}s/\text{Δ}t\to v$ (banefart) og $\text{Δ}\theta /\text{Δ}t\to \omega$ (vinkelfart). Vi får altså sammenhengen $v=\omega r$.

Mens alle massepunktene i et stivt legeme har den samme vinkelfarten, har de forskjellig banefart. Banefarten er proporsjonal med avstanden fra omdreiningsaksen.

Eksempel 16.3

Sentrifugen i en vaskemaskin har radien 28 cm og gjør 1600 omdreininger per minutt (1600 omdr/min) om symmetriaksen.

a) Finn vinkelfarten til trommelen.

b) Regn ut banefarten til en sokk som er presset mot veggen i trommelen.

Løsning:

a) Trommelen dreier en vinkel $2\text{π} \mathrm{rad}$ per omdreining. Siden vinkelfarten er konstant, kan vi bruke likningen $\theta =\omega t$, og vi får

$\omega =\frac{\theta }{t}=\frac{1600·2\text{π}\text{rad}}{\mathrm{60,0}\text{ s}}=\mathrm{167,55}\text{ rad/s}=\underset{\_}{\text{168 rad/s}}$

b) Banefarten til et punkt i avstanden $r=28 \mathrm{cm}$er

 $v=\omega r=\mathrm{167,55}\text{rad/s}\cdot 0,28\text{m}=\underset{\_}{47\text{m/s}}$

I b i eksempelet bruker vi at enheten $\mathrm{rad}=1$, jf. side 218, slik at enheten i svaret blir m/s.

Vinkelakselerasjon og baneakselerasjon

Akselerasjonsvektoren $\overrightarrow{a}$ til massepunktet kan dekomponeres i en tangentialkomponent ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{t}}$ og en radialkomponent ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{r}}$ (sentripetalakselerasjonen), se figuren nedenfor.

Tangentialkomponenten ${\overrightarrow{a}}_{\mathrm{t}}$, som også blir kalt baneakselerasjonen, er endring i banefart per tid. I tidsintervallet $\text{Δ}t$ er gjennomsnittsverdien $\stackrel{-}{a_{\mathrm{t}}}$ gitt ved

${\overline{a}}_{\text{t}}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

der $\text{Δ}v$ er endringen i banefarten i tidsintervallet $\text{Δ}t$. Siden avstanden $r$ er konstant, er $\text{Δ}v=\text{Δ}\left(\omega r\right)=\left(\text{Δ}\omega \right)r$ , og vi får

${\overline{a}}_{\text{t}}=\frac{\text{Δ}v}{\text{Δ}t}=\frac{\text{Δ(}\omega t\text{)}}{\text{Δ}t}=\frac{\text{(Δ}\omega \text{)}r}{\text{Δ}t}=\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}r$

Når $\text{Δ}t\to 0$ , vil $\text{Δ}v/\text{Δ}t\to a_{\mathrm{t}}$ (baneakselerasjon) og $\text{Δ}\omega /\text{Δ}t\to \alpha$ (vinkelfart). Vi får altså sammenhengen $a_{\mathrm{t}}=\alpha r$.

Når vinkelakselerasjonen $\alpha =0$, er vinkelfarten $\omega$ konstant. Da er baneakselerasjonen lik null, akkurat som vi ventet.

Eksempel 16.4

En vaskemaskintrommel med radien 28 cm gjør 800 omdreininger per minutt under sentrifugering. I løpet av 5,0 s øker så vinkelfarten jevnt til 1200 omdreininger per minutt.
Finn vinkelakselerasjonen og baneakselerasjonen til en sokk som blir presset mot veggen i trommelen.

Løsning:

Vinkelfarten øker fra ${\omega }_1$ til ${\omega }_2$. Vi finner ${\omega }_1$ og ${\omega }_2$ av bevegelseslikningen $\theta =\omega t$:

${\omega }_1=\frac{\theta }{t}=\frac{800·2\text{π}\text{rad}}{\mathrm{60,0}\text{s}}=\mathrm{83,775}\text{rad/s}$

${\omega }_2=\frac{\theta }{t}=\frac{1200·2\text{π}\text{rad}}{\mathrm{60,0}\text{s}}=\mathrm{125,66}\text{rad/s}$

Vinkelakselerasjonen er da

$\alpha =\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}=\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{\text{Δ}t}$

$=\frac{\mathrm{125,66}\text{rad/s}-\mathrm{83,775}\text{rad/s}}{\mathrm{5,0}\text{s}}=\mathrm{8,377}{\text{rad/s}}^2=\underset{\_}{\mathrm{8,4}{\text{rad/s}}^2}$

Baneakselerasjonen blir

$a_{\mathrm{t}}=\alpha r$

 $=\mathrm{8,377}{\text{rad/s}}^{\text{2}}\cdot \text{0},\text{28}\text{m}=\underset{\_}{\mathrm{2,3}{\text{m/s}}^{\text{2}}}$

Her har vi brukt at rad = 1, slik at rad · m/s² = m/s².