16.4 Spinn

Kraftmomentet til en kraft er arm ganger kraft, der arm er avstanden fra en akse til kraftens angrepslinje. På tilsvarende måte definerer vi bevegelsesmengdemomentet eller spinnet $L$ til et legeme som arm ganger bevegelsesmengde:

$L=ap=amv$

Av definisjonen ser vi at spinn har enheten kgm²/s.

På side 204 nevnte vi at kraftmoment kan defineres som en vektorstørrelse: $\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$. På samme måte blir spinn generelt definert som en vektorstørrelse:

$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$

For et legeme som beveger seg i en sirkelbane, står farten $\overrightarrow{v}$ vinkelrett på posisjonsvektoren $\overrightarrow{r}$. Da er armen $a$ lik radien $r$ i sirkelen, og vi har $L=rmv$.

Vi skal nå se på spinnet til et plant stivt legeme som dreier om en akse $A$, se figuren nedenfor. Hvert tenkte massepunkt i legemet beveger seg i en sirkelbane med farten $v_i=r_i\omega$, der $r_i$ er massepunktets avstand fra aksen og $\omega$ er vinkelfarten til legemet, som altså er den samme for alle massepunktene.

Massepunktet $m_i$ som roterer om aksen med vinkelfarten $\omega$ og har farten $v_i=r_i\omega$.

Vi finner spinnet til det stive legemet ved å addere spinnene til alle massepunktene i legemet. Vi får

$L=\text{Σ}{r}_i{m}_i{v}_i=\text{Σ}{r}_i{m}_i\left(r_i\omega \right)=\left(\text{Σ}{m}_i{r}_i{}^2\right)\omega$

der vi kan sette $\omega$ utenfor parentes fordi alle massepunktene i legemet har samme vinkelfart. Her er $I=\text{Σ}{m}_i{r}_i^2$ treghetsmomentet til legemet, slik at $L=I\omega$. Mer generelt gjelder formelen $L=I\omega$ også for et stivt legeme som ikke er plant. Men legemet må da være symmetrisk om rotasjonsaksen. Det følger av vektordefinisjonen av spinn. Beviset ligger utenfor rammen av denne boka.

Hvis vi sammenlikner uttrykket for spinn, $I\omega$, med uttrykket for bevegelsesmengde, $mv$, ser vi at treghetsmoment svarer til masse, og at vinkelfart svarer til fart.

Hvis summen av kraftmomentene til kreftene på et stivt legeme er lik null, er vinkelfarten til legemet konstant. Det følger av $\text{Σ}M=I\alpha$. Siden $\alpha$$$ da blir null, må vinkelfarten være konstant. Og siden treghetsmomentet til et stivt legeme er konstant, er også spinnet $L$ konstant. Spinnet er altså bevart for stive legemer som roterer om en akse hvis $\text{Σ}M=0$ .

Spinnet til et legeme blir altså ikke endret hvis kreftene på legemet ikke har noe kraftmoment om rotasjonsaksen.

Hva så med rotasjon av legemer som ikke er stive, f.eks. menneskekropper? Gjelder denne bevaringsloven også i slike tilfeller? Svaret er ja, men beviset ligger utenfor rammen av denne boka. Noen eksempler viser oss at loven ikke er urimelig.
På fotografiet nedenfor ser du en kunstløper som utfører en piruett. Det vil si at hun roterer om en vertikal akse. Når jenta trekker til seg armene, øker vinkelfarten. Det kommer av at treghetsmomentet til jenta da avtar fordi avstanden fra aksen til massepunktene i armene til jenta avtar slik at summen $\text{Σ}{m}_i{r}_i^2$ minker. I produktet $I\omega$ avtar altså $I$, mens $\omega$ øker. Det viser seg at spinnet $L=I\omega$ er konstant.

Vi tar et eksempel til som viser at bevaringsloven for spinn stemmer med enkle observasjoner: En mann sitter på en stol som kan dreie friksjonsfritt om en vertikal akse. Mannen holder to vekter, en i hver utstrakt arm, og blir satt i rotasjon med  vinkelfarten $\omega$. Han trekker så armene inn til kroppen. Da øker vinkelfarten. Det kommer av at treghetsmomentet $I=\text{Σ}{m}_i{r}_i^2$ avtar fordi avstanden $r_i$ til en del av massen avtar. Etter bevaringsloven for spinn må da vinkelfarten øke tilsvarende for at produktet $I\omega$ skal være konstant.

Vi viser hvordan vi kan bruke bevaringsloven for spinn til å gjøre beregninger.

Eksempel 16.14

Mannen på figuren i margen ovenfor har treghetsmomentet 1,6 kgm². Hver av vektene har massen 2,5 kg. Han settes i rotasjonsbevegelse med vinkelfarten 3,0 rad/s. Vektene har til å begynne med avstandene 70 cm fra rotasjonsaksen.

a) Regn ut spinnet til mannen og til hver av vektene.

Mannen trekker så vektene til seg slik at de har neglisjerbar avstand til aksen.
b) Hvor stor blir vinkelfarten nå? Se bort fra all friksjon.

Løsning:

a) Vi bruker definisjonen av spinn og finner

$L_{\text{m}1}=I_{\text{m}}{\omega }_1$

$=\mathrm{1,6}{\text{kgm}}^{\text{2}}\cdot \text{3},\text{0}\text{rad/s=4},\text{800}{\text{kgm}}^{\text{2}}\text{/s}=\underset{\_}{\mathrm{4,8}{\text{kgm}}^{\text{2}}\text{/s}}$

$L_{\text{v}1}=I_{\text{v}}{\omega }_1$

$=m_{\text{v}}{r}^2{\omega }_1$

$=\mathrm{2,5}\text{kg}\cdot {\left(\mathrm{0,70}\text{m}\right)}^2\cdot \mathrm{3,0}\text{rad/s}=\mathrm{3,675}{\text{kgm}}^{\text{2}}\text{/s}=\underset{\_}{\text{3},\text{7}{\text{kgm}}^{\text{2}}\text{/s}}$

Siden vektene har samme masse, avstand fra rotasjonsaksen og vinkelfart, har de to vektene samme spinn.

b) Når avstanden til vektene blir neglisjerbar, blir treghetsmomentet deres 0, og dermed blir spinnet til vektene 0. Bevaringsloven for spinn gir

$L_2=L_1$

$L_{\mathrm{m}2}+L_{\mathrm{v}2}=L_{\mathrm{m}1}+2L_{\mathrm{v}1}$                    der  $L_{\mathrm{v}2}=0$  og  $L_{\mathrm{m}2}={I_{\mathrm{m}}\omega }_2$

$I_{\mathrm{m}}{\omega }_2=L_{\mathrm{m}1}+2L_{\mathrm{v}1}$

${\omega }_2=\frac{L_{\mathrm{m}1}+2L_{\mathrm{v}1}}{I_{\mathrm{m}}}$

$=\frac{\mathrm{4,800}{\text{kgm}}^{\text{2}}\text{/s+2}\cdot \text{3},\text{675}{\text{kgm}}^{\text{2}}\text{/s}}{\mathrm{1,6}{\text{kgm}}^{\text{2}}}=\underset{\_}{\mathrm{7,6}\text{rad/s}}$

Eksempel 16.15

En dreieskive gjør 25 omdreininger per sekund om en vertikal akse gjennom sentrum. Så slipper vi en leirklump med massen 0,50 kg ned på skiva i avstanden 0,25 m fra aksen. Da avtar omdreiningsfarten til 20 omdreininger per sekund. Finn treghetsmomentet til dreieskiva.

Løsning:

Her er det ingen krefter som har et kraftmoment om aksen. Vi kaller treghetsmomentet til dreieskiva for $I_1$. Når leirklumpen kommer i tillegg, øker treghetsmomentet for legemet med $m{r}^2$, til $I_2=I_1+m{r}^2$, der $m$ er massen og $r$ er avstanden fra omdreiningsaksen til leirklumpen. Bevaringsloven for spinn gir da

$L_2=L_1$

$I_2{\omega }_2=I_1{\omega }_1$

$\left(I_1+m{r}^2\right){\omega }_2=I_1{\omega }_1$

$I_1\left({\omega }_2-{\omega }_1\right)=-m{r}^2{\omega }_2$

$I_1=\frac{-m{r}^2{\omega }_2}{{\omega }_2-{\omega }_1}$

$=\frac{-5\text{kg}\cdot {\left(\mathrm{0,25}\text{m}\right)}^2\cdot 20\cdot 2\text{π}\text{rad/s}}{\left(20-25\right)\cdot 2\text{π}\text{rad/s}}=\underset{\_}{\mathrm{0,13}{\text{kgm}}^{\text{2}}}$