16.2 Kraftmoment og vinkelakselerasjon

Vi begynner med et enkelt system: Et punktformet legeme med massen $m$ er festet til den ene enden av ei masseløs stang med lengden $r$. Stanga kan rotere i et horisontalt plan om en vertikal akse A gjennom den andre enden. Punktmassen $m$ er påvirket av en kraft ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{s}}$ fra stanga og av en horisontal kraft $\overrightarrow{F}$ som står normalt på stanga, se figuren nedenfor.

Kraften ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{s}}$ fra stanga på m har et kraftmoment som er lik null fordi angrepslinja går gjennom aksen A. Det er da bare $\overrightarrow{F}$ som kan dreie legemet om A. (Tyngdekraften kan ikke dreie systemet om A siden det roterer horisontalt.) Kraftmomentet til $\overrightarrow{F}$ er

 $M=r{F}_{\mathrm{t}}$

Her har vi brukt at kraften $\overrightarrow{F}$ står vinkelrett på stanga (radien) slik at $F_{\mathrm{t}}=F$. Vi bruker Newtons 2. lov i tangentiell retning på legemet $m$ og

$M=r{F}_{\mathrm{t}}$                              der  $F_{\mathrm{t}}=m{a}_{\mathrm{t}}$

$M=rm{a}_{\mathrm{t}}$                           der  $a_{\mathrm{t}}=r\alpha$

$=rmr\alpha$

$=m{r}^2\alpha$

 For dette enkle systemet har vi altså funnet likningen

$M=I\alpha$                              der  $I=m{r}^2$

Resonnementet gjelder også for en kraft $\overrightarrow{F}$ som ikke virker i tangentiell retning, fordi kraftmomentet $M=rF\sin \phi$ alltid er lik $r{F}_{\mathrm{t}}$, se figuren nedenfor.

Resonnementet kan utvides til å gjelde for et stivt legeme som består av
flere masser, og som det virker krefter på. Vi summerer da kraftmomentene
på hver av massene i legemet og får

 $\text{Σ}M=\text{Σ}{m}_i{r}_i^2{\alpha }_i$

Ettersom alle massepunktene i et stivt legeme har den samme vinkelakselerasjonen, $\alpha ={\alpha }_i$ for alle $i$, kan vi sette $\alpha$ utenfor parentes i summen på høyre side av likningen ovenfor. Vi får

$\text{Σ}M=\left(m_i{r}_2^2\right)\alpha$

Dermed får vi $\text{Σ}M=I\alpha$når vi setter

 $I=\text{Σ}{m}_i{r}_i^2=m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2+\dots +m_n{r}_n^2$

Treghetsmoment

Størrelsen $I$ kalles treghetsmoment.

Vi ser at enheten for treghetsmoment er kgm².
Ved å bruke definisjonen kan vi regne ut treghetsmomentet til et legeme, i hvert fall for legemer med en enkel geometrisk form.

Eksempel 16.5

Tre kuler, alle med masse 2,0 kg, er festet til ei lett stang slik figuren i margen viser. Stanga kan rotere om en akse gjennom det ene endepunktet. Aksen står vinkelrett på stanga. Finn treghetsmomentet til systemet om denne rotasjonsaksen.

Løsning:

Vi ser bort fra massen til stanga. Ved å bruke uttrykket for treghetsmoment får vi:

 $I=\text{Σ}{m}_i{r}_i^2$

 $=m_1{r}_1^2+m_2{r}_2^2+m_3{r}_3^2$

 $=\mathrm{2,0}\text{kg}\cdot {\left(\mathrm{1,0}\text{m}\right)}^2+\mathrm{2,0}\text{kg}\cdot {\left(\mathrm{3,0}\text{m}\right)}^2+\mathrm{2,0}\text{kg}\cdot {\left(\mathrm{4,0}\text{m}\right)}^2$

 $=\mathrm{2,0}{\text{kgm}}^{\text{2}}\text{+18}{\text{kgm}}^{\text{2}}\text{+32}{\text{kgm}}^{\text{2}}$

 $=\underset{\_}{52{\text{kgm}}^{\text{2}}}$

Eksempel 16.6

Vis at treghetsmomentet om sylinderaksen til en tynn ring (eller en tynnvegget hul sylinder) med massen $m$ og radien $r$ er lik $m{r}^2$.

Løsning:

I uttrykket $I=\text{Σ}{m}_i{r}_i^2$ er alle avstandene $r_i$ lik $r$. Da kan vi sette $r_i^2=r^2$ utenfor parentes i summen, og vi får

  $I=\text{Σ}{m}_i{r}_i^2=\left(\text{Σ}{m}_i\right)r^2=\underset{\_}{m{r}^2}$

Treghetsmomentet for noen legemer

Oversikten nedenfor har vi satt opp en oversikt over treghetsmomentet til noen legemer. Den stiplede linja er rotasjonsaksen.

	Punktmasse med masse $m$ i avstanden $r$ fra aksen	$I=m{r}^2$
	Ring eller hul sylinder med radius $r$ og masse $m$ om symmetriaksen	$I=m{r}^2$
	Homogen skive eller sylinder med radius $r$ og masse $m$ om symmetriaksen	$I=\frac{1}{2}m{r}^2$
	Tynn stang med lengde $l$ og masse $m$ om en rotasjonsakse i den ene enden	$I=\frac{1}{3}m{l}^2$
	Tynn stang med lengde $l$ og masse $m$ om en rotasjonsakse gjennom midten av stanga	$I=\frac{1}{12}m{l}^2$
	Homogen kule med radius $r$ og masse $m$ om en diameter	$I=\frac{2}{5}m{r}^2$

Eksempel 16.7

Beregn treghetsmomentet om symmetriaksen til

• et hjul
• en homogoen sylinder
• en homogen kule

alle med massen 5,0 kg og radien 0,30 m.

Løsning:

Hjulet:

$I=m{r}^2$

$=\mathrm{5,0}\text{kg}\cdot {\left(\mathrm{0,30}\text{m}\right)}^2=\underset{\_}{\mathrm{0,45}{\text{kgm}}^{\text{2}}}$

Sylinderen:

$I=\frac{1}{2}m{r}^2$

$=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{5,0}\text{kg}\cdot {\left(\mathrm{0,30}\text{m}\right)}^2=\underset{\_}{\mathrm{0,23}{\text{kgm}}^{\text{2}}}$

Kula:

$I=\frac{2}{5}m{r}^2$

$=\frac{2}{5}\cdot \mathrm{5,0}\text{kg}\cdot {\left(\mathrm{0,30}\text{m}\right)}^2=\underset{\_}{\mathrm{0,18}{\text{kgm}}^{\text{2}}}$

$\text{Σ}M=I\alpha$

På side 224 utledet vi sammenhengen $\text{Σ}M=I\alpha$ for et stivt legeme som roterer om en akse.

Dette tilsvarer Newtons 2. lov, $\text{Σ}\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$, for legemer i translatorisk bevegelse. Treghetsmomentet $I$ er et mål for hvor vanskelig det er å sette legemet i rotasjonsbevegelse, på samme måte som massen m er et mål for hvor vanskelig det er å sette et legeme i translatorisk bevegelse.

Eksempel 16.8

Et legeme med treghetsmomentet 0,045 kgm² har vinkelakselerasjonen 5,0 rad/s². Finn summen av kraftmomentene til de kreftene som virker på legemet.

Løsning:

Vi bruker loven $\text{Σ}M=I\alpha$

 og får

$\text{Σ}M=I\alpha$

 $= \mathrm{0,045}{\text{kgm}}^{\text{2}}\cdot \text{5},\text{0}{\text{rad/s}}^{\text{2}}\text{=}\underset{\_}{ \text{0},\text{23}\text{Nm}}$

Eksempel 16.9

Et svinghjul har en aksel med radius 1,0 cm. Rundt akselen er det surret en masseløs snor. Vi trekker i snora med en konstant kraft (snordrag) på 15 N, og akselen med svinghjulet begynner å rotere med vinkelakselerasjonen 8,0 rad/s². Hvilken verdi kan vi av dette forsøket finne for treghetsmomentet til svinghjulet med akselen?

Løsning:

Snordraget har avstanden $r=1,0 \mathrm{cm}$ til rotasjonsaksen. Det er snordraget som får svinghjulet til å rotere. Kraften S fra snora på akslingen fører til et kraftmoment $M=rS$ på akslingen. Vi får

$\text{Σ}M=I\alpha$        der $\text{Σ}M=rS$

$rS=I\alpha$

$I=\frac{rS}{\alpha }$

 $=\frac{\mathrm{0,010}\text{m}\cdot \text{N}}{\mathrm{8,0}{\text{rad/s}}^{\text{2}}}=\underset{\_}{\mathrm{1,9}\cdot {10}^{-2}{\text{kgm}}^{\text{2}}}$

Eksempel 16.10

En homogen sylinder med massen 2,0 kg og radien 0,25 m kan rotere friksjonsfritt om sylinderaksen. Et lodd med massen 1,2 kg henger i en lett snor som er surret rundt sylinderen, se figuren nedenfor.

a) Finn vinkelakselerasjonen til sylinderen og akselerasjonen til loddet.

b) Bestem snordraget.

Løsning:

a) Hvis snora ikke glir, er baneakselerasjonen $a_{\mathrm{t}}$ til et punkt på sylinderen lik akselerasjonen $a$ til snora og loddet. Da er

 $a_{\mathrm{t}}=a=\alpha r$                                                                             (1)

der $\alpha$ er vinkelakselerasjonen. På loddet virker tyngdekraften $G_{\mathrm{L}}$ og snordraget $S$.

Newtons 2. lov på loddet gir da

 $\text{Σ}F=m_{\text{L}}a$

 $G_{\text{L}}-S=m_{\text{L}}a$                der  $G_{\mathrm{L}}=m_{\mathrm{L}}g$   og  $a=r\alpha$  

 $S=m_{\text{L}}g-m_{\text{L}}r\alpha$                                                                (2)

Den eneste ytre kraften som virker på sylinderen, og som har et kraftmoment, er snordraget. Vi finner treghetsmomentet for en homogen sylinder i tabellen på side 226, $I=\frac{1}{2}m{r}^2$ . Vi får da

$\text{Σ}M=I\alpha$                        der  $\text{Σ}M=rS$    og    $\frac{1}{2}{m}_{\text{S}}{r}^2$

$rS=\frac{1}{2}{m}_{\text{S}}{r}^2\alpha$  

$S=\frac{1}{2}{m}_{\text{S}}r\alpha$                                                                         (3)

Vi setter inn fra likningen (2) og får

 $m_{\text{L}}g-m_{\text{L}}r\alpha =\frac{1}{2}{m}_{\text{S}}r\alpha$

 $\left(m_{\text{S}}+2m_{\text{L}}\right)r\alpha =2m_{\text{L}}g$

 $\alpha =\frac{2m_{\text{L}}g}{\left(m_{\text{S}}+2m_{\text{L}}\right)r}$

 $=\frac{2·\mathrm{1,2}\text{kg}·\mathrm{9,81}\text{N/kg}}{\text{(}\mathrm{2,0}+2·\mathrm{1,2}\text{kg)}·\mathrm{0,25}\text{m}}=\mathrm{21,40}{\text{rad/s}}^2=\underset{\_}{21{\text{rad/s}}^2}$

Vi finner akselerasjonen a av likning (1):

 $a=\alpha r$

 $=\mathrm{21,41}{\text{rad/s}}^{\text{2}}\cdot \text{0},\text{25}\text{m}=\underset{\_}{21{\text{rad/s}}^{\text{2}}}$

b) Snordraget finner vi av likning (3):

 $S=\frac{1}{2}{m}_{\text{S}}r\alpha$

 $=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{2,0}\text{kg}\cdot \mathrm{0,25}+\text{m}\cdot \mathrm{21,40}{\text{rad/s}}^{\text{2}}=\underset{\_}{\mathrm{5,4}\text{N}}$